Sinus hyperbolique

Définition

Pour $x\in{{\Bbb R}}$, le sinus hyperbolique est : $${{\operatorname{sh}x}}={{{e^x-e^{-x}\over 2} }}$$

Formules utiles

Fonction réciproque

Dérivée

La dérivée de la fonction sinus hyperbolique est la fonction cosinus hyperbolique $$\left({{\operatorname{sh} x}}\right)'={{\operatorname{ch} x}}$$

Relation avec la fonction sinus

D'après la formule d'Euler, on a : $$\operatorname{sh}({{ix}})={{i\sin(x)}}$$

Equivalence

$${{\operatorname{sh} x}} x}}\underset{ {{0}} }\sim {{x}}$$
(i, Formules d'Euler)

Développement limité

$${{\operatorname{sh}(x)}}=\sum^{+\infty}_{n=0}{{\frac{x^{2k+1} }{(2k+1)!} }}$$
Le DL de $\operatorname{sh}$ s'obtient en ne prenant que les valeurs impaires de $n$ dans le DL de $\exp$

Math'φsics